Cours de Topologie PDF (L3 SMA S5) Gratuit

ADVERTISEMENT

Télécharger gratuitement résumé et cours complet de Topologie PDF S5. Bachelor / Licence Mathématiques et Applications SMA (3ème année L3). Pour les TD, QCM, exercices corrigés, examens, livres… vous trouverez les liens au bout de cette page. Tout en PDF/PPT, Tout est gratuit.

Table des matières

    Présentation du cours Topologie

    Cours de Topologie PDF
    Cours de Topologie PDF

    Elément de Topologie

    Quand on regarde, de plus près, l’ensemble des nombres réels R, on s’aperçoit, très vite, que la majorité des notions topologiques telles que : limites, continuité, suites convergentes et suites de Cauchy, ont été définies à l’aide des intervalles ouverts et plus précisément à l’aide des trois propriétés métriques de la valeur absolue:

    Pour espérer définir ces mêmes notions topologiques dans un espace autre que R, il est donc naturel de chercher à munir cet espace d’une métrique convenable qui possède les mêmes propriétés que la valeur absolue.

    ADVERTISEMENT

    Espaces topologiques

    Un autre regard, cette fois ci, vers les espaces métriques nous apprend que pour définir sur un ensemble quelconque E des notions topologiques telles que limite et continuité, on n’a pas vraiment besoin d’une distance ; une partie T de P(E) qui vérifie les trois propriétés (T1), (T2) et (T3) du paragraphe 1.7 suffit.

    Soit E un ensemble non vide et T une partie de P(E).

    Évidemment, on voit tout de suite que si (E, d) est un espace métrique, alors (E, Td) est un espace topologique.

    Il existe des espaces topologiques qui ne sont pas métrisables, c’est-à-dire des espaces topologiques (E, T ) tels qu’ il n’existe aucune distance d définie sur E qui vérifie T = Td.

    Voici un exemple:

    Soit E un ensemble contenant au moins deux éléments, la partie de P(E), T = {∅, E} est une topologie sur E. C’est la plus petite (au sens de l’inclusion) topologie qui puisse être définie sur E. On l’appelle topologie grossière. Elle ne provient d’aucune distance.

    La plus grande topologie qui puisse être définie sur E, est la topologie discrète T = P(E), mais elle, elle provient de plusieurs distances, en particulier de la distance discrète.

    Limites et continuité

    Les notions de limite et continuité jouent un rôle central en topologie. Elles permettent, en particulier, de montrer l’existence de plusieurs objets mathématiques.

    Topologie produit

    Soit E et F deux espaces topologiques. On appelle ouvert élémentaire de E × F toute partie de la forme O1 × O2, où O1 est un ouvert de E et O2 un ouvert de F.

    La partie B formée de tous ces ouverts élémentaires est une base de topologie sur E × F et la topologie T qu’elle engendre s’appelle topologie produit.

    Les ouverts de T sont donc les partie de E × F qui sont réunion d’ouverts élémentaires.

    Ainsi, O ∈ T , si et seulement si, il existe une famille (Oα 1 )α∈I d’ouverts de E et une famille (Oα 2 )α∈I d’ouverts de F tels que O = [ α∈I O α 1 × Oα 2 ; ou encore : O ∈ T ⇐⇒ ∀(x, y) ∈ O, ∃B ∈ B, (x, y) ∈ B ⊂ O.

    Espaces complets

    Une suite (xn)n∈N d’un espace métrique (E, d) est dite de Cauchy, si :

    ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N ∀ m ≥ N d(xn, xm) < ε.

    Ce qui est équivalent, si on note pour tout n ∈ N Xn = {xk, k ≥ n}, au fait que la suite décroissante (diam(Xn))n∈N converge vers 0.

    Ainsi, toute suite convergente est de Cauchy. Par contre, une suite de Cauchy n’est pas toujours convergente.

    Plan du Cours

    Chapitre I : Espaces métriques

    • Définition et exemples d’espaces métriques
    • Boules, ouvert fermé et voisinage
    • Suites et fonctions dans les espaces métriques
    • Espace métrique complet
    • Prolongement des applications uniformément continues
    • Définitions de compact et caractérisation par le théorème de Bolzano Weirstrass
    • Fonction continue sur un compact, théorème de Heine

    Chapitre II: Espaces topologiques

    • Définition et exemples d’espaces topologiques
    • Topologie induite : ouverts et fermés relatifs
    • Intérieur, adhérence, frontière, point isolé, point d’accumulation
    • Suites et fonctions dans les espaces topologiques
    • Topologie produit
    • Espaces compacts et localement compacts
    • Espaces connexes

    Chapitre III: Quelques théorèmes d’analyse

    • Théorème du point fixe de Banach , exemples d’application
    • Famille équicontinue, théorème d’Ascoli
    • Théorème de Stone Weirstrass

    Télécharger Cours Topologie PDF

    Cours de Topologie – PDF 1

    ADVERTISEMENT

    Cours de Topologie – PDF 2

    Cours de Topologie – PDF 3

    Cours de Topologie – PDF 4

    Cours de Topologie – PDF 5

    Cours de Topologie – PDF 6

    Cours de Topologie – PDF 7

    Cours de Topologie – PDF 8

    Cours de Topologie – PDF 9

    NOTE: N’oubliez pas de voir des TD, QCM, Exercices et Examens de Topologie. Liens dans la section ci-dessous.

    Exercices & Examens de Topologie

    Pour télécharger les QCM, exercices et examens de Topologie, Cliquez sur les liens ci-dessous.

    NOTE: N’oubliez pas de voir les autres Unités d’enseignements (matières/modules) de Mathématiques et Applications. Liens dans la section ci-dessous.

    Autres Modules de Mathématiques et Applications

    Tourner à la page principale de Mathématiques pour voir la totalité des modules (cours, résumés, formation, exercices, td, examens, qcm, livres).

    Ou visiter directement les cours de la filière Math et Application à partir de ces liens ci-dessous:

    ADVERTISEMENT

    Partager avant de sortir

    Laisser un commentaire

    Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.