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Cours de Structures Algébriques PDF – Algèbre 6

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Table des matières

    Présentation du Cours Structures Algébriques

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    Cours Structures Algébriques PDF

    L’expérience indique que l’étude abstraite des structures algébriques peut se révéler fascinante ou épuisante selon la personnalité de chacun. Un inconvénient, peut-être inévitable, de cette étude est qu’il est difficile de mettre immédiatement en relief l’utilité des résultats démontrés ; il faut passer un certain temps dans la théorie, puis de nouveau un certain temps dans des chapitres plus concrets où les résultats accumulés seront recyclés.

    Tentons cependant de rassurer le lecteur grâce à la constatation suivante (à moins que cette constatation ne l’effraie encore plus) : une bonne part des résultats énoncés sur les groupes finis (concept d’ordre, théorème de Lagrange, etc.) aura l’occasion d’être mise en application dès le chapitre d’arithmétique. En effet, une première utilité de la théorie des groupes est de formaliser et systématiser les calculs usuels qu’on sait pratiquer sur les ensembles de nombres.

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    L’autre point de vue sur lequel on peut insister est celui des groupes formés de bijections, mais malheureusement on aura peu l’occasion de les voir vraiment appliqués dans la suite de ce cours de première année. En revanche, on peut affirmer que des connaissances sur les groupes de permutations (groupes de bijections des ensembles finis) sont bien utiles de ci de là, en informatique par exemple. Et de toutes façons l’investissement sera rentabilisé dès que le lecteur apprendra plus de géométrie, ce qui reste un cadre idéal d’usage des groupes de transformations.

    Plan du Cours

    Chapitre I. Groupes

    Groupes, sous groupes, homomorphismes de groupes.
    Sous groupe engendré par une partie.
    Relations modulo un sous groupe.
    Théorème de Lagrange.
    Groupe cyclique.
    Sous groupes distingués et groupe quotient.
    Théorèmes d’isomorphismes pour les groupes.
    Groupe symétrique.
    Groupe alterné.

    Chapitre II. Anneaux et corps

    Anneaux.
    Eléments remarquables d’un anneau.
    Anneaux intègres.
    Sous anneaux.
    Idéaux. Homomorphismes d’anneaux.
    Anneaux quotients.
    Théorèmes d’isomorphismes pour les anneaux.
    Arithmétique des anneaux principaux.
    Corps.
    Sous corps.
    Caractéristique d’un corps (Z, K[Z]).

    Chapitre III. Polynômes à plusieurs indéterminées

    Construction de l’anneau de polynômes à coefficients dans un anneau.
    Polynômes à plusieurs indéterminées à coefficients dans un corps.
    Formules d’Euler et Formules de Taylor

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