Cours de Programmation Mathématique PDF (L3 SMA S5) Gratuit

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Table des matières

    Présentation du Cours de Programmation Mathématique

    cours de Programmation Mathématique PDF L3 SMA S5
    Cours Programmation Mathématique PDF

    Introduction

    Modélisation pour la programmation mathématique

    Une grande majorité de problèmes d’optimisation dans le milieu industriel se présente en forme d’optimisation combinatoire. Une approximation continue est quelque fois possible, comme dans le cas ou la solution est en nombres entiers mais où les nombres sont suffisamment grands pour permettre une approximation continue. Cependant, pour la plupart des problèmes cette approximation est insuffisante.

    Nemhauser et Wolsey[?] résument l’importance de la modélisation des problème d’optimisation combinatoire, en général, et des problèmes en nombre entier, en particulier, par la constatation suivante:

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    ”In integer programming, formulating a good model is of crucial importance to solving the model.”

    Du modèle nous pouvons inférer le type de résolution adéquat. Ce soucis constant est présent tant au niveau de la modélisation mathématique qu’au niveau de sa formulation informatique.
    En effet, dans le cas de problèmes réels, il serait illusoire de chercher une solution manuellement. L’appel à la programmation est donc un passage obligé.

    Programmation linéaire

    Proposée par G.B.Dantzig en 1949 [2] la programmation linéaire a permis la résolution des problèmes d’optimisation dans la plupart des domaines. Utilisée directement ou comme partie d’un autre algorithme, des problèmes de tailles très variées (quelques variables jusqu’à quelques dizaines de milliers) ont été résolus par cette méthode. Pour que ce type de résolution soit efficace, cette méthode nécessite une formulation adéquate tenant compte de la spécificité de chaque problème traité.

    La programmation linéaire (PL) a bien évidemment un intérêt en tant que telle, mais encore plus en considérant ses techniques de résolution en tant qu’introduction à celle de problèmes plus contraints, tels la programmation linéaire en nombres entiers.

    Il est donc absolument nécessaire de passer par l’apprentissage de la formulation et la résolution des problèmes de PL.

    Le simplexe en pratique

    Dans ce chapitre nous allons explorer plus en détail comment l’algorithme du simplexe fonctionne. L’algorithme donné au chapitre précédent est correct mais il est nécessaire d’avoir vu les cas limites dans un contexte pédagogique avant de les rencontrer « dans la nature »dans le cadre des applications.

    D’autre part, les exemples que nous avons donnés pour le moment permettent d’initialiser facilement l’algorithme. Nous allons voir qu’il n’est pas toujours évident de postuler et d’exhiber une base réalisable initiale. En effet il est facile de donner un simplexe qui ne contient pas l’origine. Dans ce cas la recherche d’une base initiale n’est pas nécessairement simple et peut même ne pas exister.

    Nous explorons ensuite les formulations duales/primales. Savoir passer de l’une à l’autre permet en particulier d’exhiber des meilleurs algorithmes et d’encadrer l’optimum efficacement. Un algorithme primal-dual est également moins sujet aux cas difficiles du simplexe.

    Enfin nous donnons un exemple de problèmes pour lesquels l’algorithme du simplexe ne donne pas la solution en temps polynomial.

    Plan du Cours

    Chapitre 1 : Notions fondamentales

    • Introduction : Problème d’optimisation, Problème d’optimisation linéaire, Problème d’optimisation convexe, Problème d’optimisation non linéaire.
    • Ensembles convexes dans Rn: Définitions et propriétés, Exemples d’ensembles convexes, Operations sur les ensembles convexes, Projection sur un ensemble convexe fermé et séparation de convexes.
    • Fonctions convexes : Définitions et propriétés, Exemples de fonctions convexes, Opérations sur les fonctions convexes, Caractérisation des fonctions convexes

    Chapitre 2 : Optimisation différentiable sans contraintes

    • Conditions d’optimalité : Définitions, Conditions d’optimalité du premier et du second ordre.
    • Méthodes d’optimisation : Méthodes du premier ordre (Principe des méthodes de descente), Méthode du gradient.

    Chapitre 3 : Optimisation différentiable avec contraintes

    Conditions d’optimalité du premier ordre : Hypothèse de qualifications, Conditions nécessaires de Karush-Kuhn-Tucker.

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    Chapitre 4 : Méthodes de résolutions pour les problèmes avec contraintes

    • Cas des problèmes linéaires (5 séances =7h30) : Définitions et propriétés, Principe de résolution géométrique, Caractérisation des points extrêmes d’un polyèdre, Théorèmes fondamentaux de la programmation linéaire (dualité comprise), La méthode du simplexe.
    • Méthode des plans sécants de Kelley

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