Télécharger gratuitement le cours complet de (Analyse 3) Formule de Taylor Développement Limité et Applications PDF S2. Bachelor / Licence Mathématiques et Applications SMA (2ème année). Pour les TD, QCM, exercices corrigés, examens, livres… vous trouverez les liens au bout de cette page. Tout en PDF/PPT, tout est gratuit.
Présentation du Cours Analyse 3
Introduction
Fixons un point x0 ∈ R et soit I un intervalle ouvert contenant x0. Considérons une fonction f : I 7→ R dérivable au point x0. Nous savons très bien que le graphe C (f ) de f admet une droite tangente au point x0, dont l’équation est un polynôme de degré 1. Nous voulons maintenant faire mieux, nous nous demandons alors si c’est possible d’approcher C (f ) au voisinage de x0 par, cette fois, un parabole, autrement dit par un graphe d’un polynôme de degré 2!
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor, permet en effet l’approximation d’une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d’un point par un polynôme de degré assez grand que nous souhaitons. La figure suivante illustre le cas de la fonction exponentielle au voisinage de 0.
Dérivées successives
Dans toute la suite, nous désignons par I un intervalle ouvert de R et par f : I → R une fonction réelle. Une fonction est dite de classe C 0 sur I si tout simplement elle est continue sur I, dans ce cas nous écrivons f ∈ C 0 (I). L’ensemble de toutes les fonctions réelles qui sont continue sur I est noté par C 0 (I).
On dit que la fonction f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et sa dérivée f 0 est continue sur I, dans ce cas nous écrivons f ∈ C 1 (I). Si de plus f 0 est dérivable sur I, on dit alors que f est deux fois dérivable sur I. La dérivée de f 0 est appelée la dérivée seconde de f et est souvent notée par f 00 ou f (2). Plus généralement, pour n Ê 2, on dit que f est n fois dérivable sur I si f est n −1 fois dérivable et que la (n −1)ième dérivée, notée par f (n−1) , est aussi dérivable.
Définition
Soit n un entier naturel. La classe C n (I) est l’ensemble de toutes les fonctions n fois dérivable sur I et dont les n ième dérivées sont toutes continues sur I.
- (a) Une fonction f de l’ensemble C n (I) est dite de classe C n sur I.
- (b) Si f ∈ C n (I), pour tout n ∈ N, on dit alors que f est de classe C ∞ sur I. La classe C ∞(I) est donc c’est l’ensemble des fonctions admettant des dérivées supérieurs de tout ordre.
Plan du Cours
- Rappels et résultats préliminaires
- Chapitre 1 Formule de Taylor et applications
- Chapitre 2 Développements limités et applications
- Chapitre 3 Courbes paramétrées et courbes polaires
Télécharger Cours Formule de Taylor Développement Limité et Applications PDF
Formule de Taylor et applications
Développements limités et applications
Courbes paramétrées et courbes polaires
Rappels et résultats préliminaires
Formules de Taylor – Développements limités
Fonctions convexes
Courbes paramétriques et polaires
Cours Complet d’Analyse 3
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- Algèbre 1: Généralités et Arithmétique dans Z
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- Analyse 2: Intégration
- Analyse 3 : Formule de Taylor, Développement Limité et Applications
- Algèbre 3: Espaces Vectoriels, Matrices et Déterminants