Cours Formule-Taylor Développement Limité-Applications PDF

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Table des matières

    Présentation du Cours Analyse 3

    cours analyse 3 Formule de Taylor Développement Limité et Applications pdf
    cours de analyse 3

    Introduction

    Fixons un point x0 ∈ R et soit I un intervalle ouvert contenant x0. Considérons une fonction f : I 7→ R dérivable au point x0. Nous savons très bien que le graphe C (f ) de f admet une droite tangente au point x0, dont l’équation est un polynôme de degré 1. Nous voulons maintenant faire mieux, nous nous demandons alors si c’est possible d’approcher C (f ) au voisinage de x0 par, cette fois, un parabole, autrement dit par un graphe d’un polynôme de degré 2!

    La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor, permet en effet l’approximation d’une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d’un point par un polynôme de degré assez grand que nous souhaitons. La figure suivante illustre le cas de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

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    Dérivées successives

    Dans toute la suite, nous désignons par I un intervalle ouvert de R et par f : I → R une fonction réelle. Une fonction est dite de classe C 0 sur I si tout simplement elle est continue sur I, dans ce cas nous écrivons f ∈ C 0 (I). L’ensemble de toutes les fonctions réelles qui sont continue sur I est noté par C 0 (I).

    On dit que la fonction f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et sa dérivée f 0 est continue sur I, dans ce cas nous écrivons f ∈ C 1 (I). Si de plus f 0 est dérivable sur I, on dit alors que f est deux fois dérivable sur I. La dérivée de f 0 est appelée la dérivée seconde de f et est souvent notée par f 00 ou f (2). Plus généralement, pour n Ê 2, on dit que f est n fois dérivable sur I si f est n −1 fois dérivable et que la (n −1)ième dérivée, notée par f (n−1) , est aussi dérivable.

    Définition

    Soit n un entier naturel. La classe C n (I) est l’ensemble de toutes les fonctions n fois dérivable sur I et dont les n ième dérivées sont toutes continues sur I.

    • (a) Une fonction f de l’ensemble C n (I) est dite de classe C n sur I.
    • (b) Si f ∈ C n (I), pour tout n ∈ N, on dit alors que f est de classe C ∞ sur I. La classe C ∞(I) est donc c’est l’ensemble des fonctions admettant des dérivées supérieurs de tout ordre.

    Plan du Cours

    • Rappels et résultats préliminaires
    • Chapitre 1 Formule de Taylor et applications
    • Chapitre 2 Développements limités et applications
    • Chapitre 3 Courbes paramétrées et courbes polaires

    Télécharger Cours Formule de Taylor Développement Limité et Applications PDF

    Formule de Taylor et applications

    Développements limités et applications

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    Courbes paramétrées et courbes polaires

    Rappels et résultats préliminaires

    Formules de Taylor – Développements limités

    Fonctions convexes

    Courbes paramétriques et polaires

    Cours Complet d’Analyse 3

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    Exercices & Examens de Analyse 3

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