Cours Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables PDF Gratuit

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Table des matières

    Présentation du Cours Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables

    cours Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables pdf
    Cours Fonctions de Plusieurs Variables

    Introduction au cours

    Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs variables. L’idée fondamentale de cette théorie est d’approcher une application “quelconque” (de plusieurs variables réelles ici) par une application linéaire au voisinage d’un point.

    Le cadre général pour la mettre en œuvre est celui des espaces vectoriels (ce qui donne un sens au mot “linéaire” comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d’une norme sur l’espace de départ (pour avoir une notion de voisinage) et une norme sur l’espace d’arrivée (pour savoir “approcher”).

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    Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants ainsi que plusieurs applications notamment pour l’optimisation (voir le dernier chapitre du cours).

    Toutefois, avant de s’attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien définir les notions de bases en topologie associées à cette théorie, à savoir :

    – les distances, boules ouvertes, fermées,

    – les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc.

    Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors programme), mais dans le cas particulier des espaces Rn (et le plus souvent les espaces où R 2 et R 3 ) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimension n (dimension finie).

    Rappelons qu’en dimension 2 (n = 2), on identifie un vecteur x de coordonnées (x1, x2) avec un point du plan de coordonnées (x1, x2) une fois fixée une origine.

    Ici, on généralisera cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnées(x1, …, xn) par x = (x1, …, xn) ∈ R n .

    Rappelons enfin que l’ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR !

    Or, dans R, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport (f(x) − f(x0))/(x − x0). Elle implique donc de pouvoir diviser par (x − x0). Mais dans R n ça n’a pas de sens car la division par un vecteur n’est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d’une fonction D ⊂ R n → R n ? C’est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la DIFFERENTIABILITE.

    Fonction de plusieurs variable

    Le but principal de ce cours est d’étudier les fonctions de plusieurs variables. En première année vous avez vu les fonctions d’une seule variable, où un paramètre réel (qui physiquement peut représenter une température, une pression, une densité massique, volumique, etc.) dépend d’un autre paramètre, également réel (le temps, une abscisse, etc).

    Ici on va donc s’intéresser à des fonctions de plusieurs paramètres réels. Par exemple on peut vouloir étudier la température, la pression ou la densité volumique en fonction de la position dans l’espace (3 dimensions), de la position et de la vitesse (par exemple quelle est la densité de particules qui se trouve à cet endroit et qui va dans cette direction, ce qui fait 6 dimensions), on peut s’intéresser en plus à la dépendance par rapport au temps (une dimension supplémentaire). La quantité étudiée peut dépendre de la position de N objets, auquel cas on doit travailler avec 3N dimensions. Bref, les exemples ne manquent pas…

    Notre exemple favori dans ce cours sera celui d’une altitude dépendant de deux paramètres (latitude et longitude ou, de façon plus abstraite, x et y). Il s’agit donc d’une fonction sur un domaine de R 2 et à valeurs dans R. L’intérêt est que le graphe de cette fonction correspond exactement à la montagne que l’on est en train d’escalader.

    Mathématiquement, on devra donc étudier des fonctions qui ne sont plus définies sur un intervalle (ou une partie quelconque) de R, mais sur un domaine de R n pour un certain n ∈ N. L’espace d’arrivée pourra être R ou bien R p pour un certain p ∈ N, si la quantité qui nous intéresse est elle-même multi-dimensionnelle. On verra que le fait d’avoir plusieurs dimensions à l’arrivée n’est pas très génant, alors que le fait d’avoir plusieurs dimensions au départ va poser un certain nombre de difficultés par rapport à ce que vous connaissez.

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    Les principales propriétés des fonctions de plusieurs variables auxquelles on va s’intéresser sont les questions de régularité (continuité, dérivabilité, . . .) et leurs conséquences (comportement local d’une fonction, étude des extrema, . . .), d’intégration, et enfin le lien entre les deux.

    Plan du Cours

    • Espaces vectoriels normés et topologie
    • Limites et continuité
    • Différentiabilité
    • Formule de Taylor et extremums

    Télécharger Cours Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables PDF

    Cours complet d’Analyse 5 – PDF 1

    Cours complet d’Analyse 5 – PDF 2

    Cours complet d’Analyse 5 – PDF 3

    Fonctions continues sur un espace vectoriel normé – PDF

    Applications Différentiables – PDF

    Etude locale d’une fonction de Plusieurs variables – PDF

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