Cours Dualité Espaces Euclidiens Espaces Hermitiens PDF – Algèbre 5

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Table des matières

    Présentation du Cours Dualité, Espaces Euclidiens, Hermitiens

    Cours d algèbre 5 Dualité, Espaces Euclidiens, Espaces Hermitiens
    Cours d’Algèbre 5

    Introduction

    Rappelons que l’ensemble des applications linéaires d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F sur le même corps K est un espace vectoriel sur K noté L(E; F). Il est de dimension dim E dim F et isomorphe à l’espace des matrices Mdim F dim E (K). Les formes linéaires sont des types particuliers des applications linéaires. Ils portent parfois également le nom de convecteur, comme ils ont une grande importance dans la décomposition des formes quadratiques en sommes des carrées, en d’autre terme la présentation par la forme diagonale.

    Définition 1 Une forme linéaire est une application linéaire de l’espace vectoriel E dans le corps K (vu comme espace vectoriel sur lui-même), son noyau s’appelle un hyperplan . Du théorème des dimensions et la définition précédente, on résulte qu’une forme linéaire est soit nulle soit surjective. Dans le deuxième cas, son noyau est supplémentaire d’une droite vectorielle.

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    Exemple 2 La trace est une forme linéaire sur l’espace des matrices carrées d’ordre n. On en déduit que le sous espace des matrices de trace nulle est un hyperplan, d’où la dimension est égale à n 2 1. Ainsi son supplémentaire est un sous espace des matrices scalaires.

    Définition 3 L’espace des formes linéaires L(E; K) s’appelle l’espace dual de E, noté E*.

    Formes bilinéaires et quadratiques sur un espace vectoriel

    (c) Espaces vectoriels euclidiens, espaces vectoriels hermitiens. Isomorphisme d’un espace vectoriel euclidien avec son dual. Supplémentaire orthogonal. Inégalité de CauchySchwarz. Norme. Bases orthonormales.

    (d) Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal. Exemple de générateurs du groupe orthogonal : décomposition d’un automorphisme orthogonal en produit de réflexions. Endomorphismes symétriques, endomorphismes normaux. Diagonalisation d’un endomorphisme symétrique.

    Décomposition en valeurs singulières d’une matrice à coefficients réels. Réduction simultanée de deux formes quadratiques réelles, l’une étant définie positive. Décomposition polaire dans GLn(R).

    Espaces vectoriels euclidiens de dimension deux, classification des éléments de O(2, R). Espaces vectoriels euclidiens de dimension trois, classification des éléments de O(3, R); produit mixte, produit vectoriel.

    (e) Groupe unitaire, groupe spécial unitaire. Diagonalisation des endomorphismes normaux. Décomposition polaire dans GL(n, C).

    Nous supposons acquis les points 1 à 3 dudit programme, mais nous retrouverons les points 4 (a), 4 (b) comme cas particuliers.

    Plan du Cours

    Ch. I. Dualité

    Formes linéaires.
    Hyperplans.
    Bases duales en dimension finie.
    Bidual.

    Ch. II. Espaces Préhilbertiens réels

    Formes bilinéaires symétriques.
    Formes quadratiques.
    Orthogonalité.
    Rang.
    Noyau.
    Vecteurs isotropes.
    Sous-espaces orthogonaux.
    Matrice d’une forme quadratique en dimension finie.
    Matrices congruentes.
    Méthode de Gauss.
    Théorème de Sylvester.

    Ch. III. Espaces Euclidiens

    Produit scalaire.
    Orthogonalité.
    Bases orthogonales.
    Bases orthonormées.
    Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt.
    Endomorphismes orthogonaux.
    Endomorphismes symétriques.
    Formes quadratiques dans un espace euclidien.

    Ch. IV. Espaces Hermitiens

    Formes hermitienne.
    Produit scalaire hermitien.
    Orthogonalité.
    Adjoints.
    Endomorphisme auto-adjoint.
    Endomorphismes unitaires.
    Endomorphismes Normaux.
    Diagonalisation.

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    Cours d’agrégation : algèbre et géométrie euclidienne et hermitienne

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    Cours d’algèbre linéaire

    Cours d’Espaces euclidiens et hermitiens

    Cours de Dualité Espaces Euclidiens Espaces Hermitiens

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    Cours de Formes Hermitiennes – Espaces Hermitiens

    Résumé d’Algèbre

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