Télécharger gratuitement le cours complet de Calcul Intégral et Formes Différentielles PDF S4. Bachelor / Licence Mathématiques et Applications SMA (2ème année L2). Pour les TD, QCM, exercices corrigés, examens, livres… vous trouverez les liens au bout de cette page. Tout en PDF/PPT, Tout est gratuit.
Présentation du Cours Calcul Intégral et Formes Différentielles
Introduction
Intégrales définies
Soit f : I × [u, v] → R, une fonction intégrable par rapport à t ∈ [u, v] où I ⊂ R est un intervalle et u, v sont des fonctions de x ou des constantes. Soit F : I → R, définie par
F(x) = Z vu f(x, t)dt.
Proposition 1 Si f est continue sur I × [u, v] et si u, v sont continues sur [α, β], alors la fonction F est continue sur I.
Proposition 2 (Formule de Leibniz). Si u, v sont dérivables sur I et si f, ∂f ∂x sont continues sur I × [u, v], alors la fonction F est de classe C 1 sur I et on a
Proposition 3 (Formule de Fubini). Si f est continue sur I×[u, v], I = [α, β], alors
Intégrales généralisées
Soit (x, t) 7−→ f(x, t) une fonction définie sur I × [a, b[, b ni ou infini. On considère le cas b = +∞, c’est-à-dire, les intégrales généralisées de la forme.
dépendant d’un paramètre x ∈ I.
Les résultats suivants sont valables aussi pour les autres intégrales généralisées de la forme
dépendant d’un paramètre x ∈ I.
Définition 4 On dit que l’intégrale généralisée Z +∞ a f(x, t)dt converge pour x ∈ I si et seulement si la limite
existe. Autrement dit,
(A(ε, x) dépend en général de ε et x).
Définition 5 On dit que l’intégrale généralisée Z +∞ a f(x, t)dt converge absolument sur I si et seulement si Z +∞ a |f(x, t)|dt converge sur I.
Les questions que l’on rencontre lors de l’étude des suites et séries de fonctions concernant la continuité, la dérivabilité et l’intégration, se posent aussi aux intégrales généralisées dépendant d’un paramètre. En l’absence d’hypothèses supplémentaires, les trois propositions précédentes ne sont plus valables pour le cas de ces intégrales. Par exemple, la fonction définie par
n’est pas continue sur [0, 1] car
F(x) = { 1 si x > 0 ; 0 si x = 0
et pourtant la fonction f(x, t) = xe−xt est continue pour x ∈ [0, 1].
Nous allons introduire la notion de convergence uniforme.
Plan du Cours
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
Théorème de convergence dominée (suites et séries). Intégrale dépendant d’un paramètre (continuité et dérivabilité)
- Intégrales définies
- Intégrales généralisées
- Exercices
Intégrales multiples
Intégrale d’une fonction sur un pavé. Théorème de Fubini et applications. Intégrales doubles et triples et changement de variables. Applications aux calculs des surfaces et des volumes
- Réduction des intégrales multiples (FUBINI)
- D est un pavé de Rn
- D est un borné (fermé) quelconque de Rn
- Changements de variables dans les intégrales multiples
- Exercices
Formes Différentielles
Définitions et généralités des formes différentielles de degré 1, 2 dans R^2 et R^3. Formes exactes et fermées. Théorème de Poincaré.
Formes différentielles, intégrales curvilignes
Longueur d’un arc, intégrale sur un chemin. Formule de Green–Riemann
- Généralités
- Produit extérieur
- Différentielle extérieure
- Formes fermées et formes exactes
- Transformée ou transposée des formes différentielles
- Formules de Green-Riemann, Stokes-Ampère et Gauss-Ostrogradski
- Exercices
Calcul d’intégrales par la méthode des résidus
Définition d’une fonction holomorphe. Formule de Cauchy. Théorème de résidus.
- Généralités
- Fonctions holomorphes, fonctions analytiques
- Intégration des fonctions holomorphes, théorèmes de Cauchy
- Séries de Laurent, points singuliers
- Fonctions méromorphes, théorème des résidus
- Applications du théorème des résidus au calcul d’intégrales
- Exercices
Télécharger Cours Calcul Intégral et Formes Différentielles PDF
Cours complet d’Analyse 6: calcul intégral et formes différentielles
NOTE: N’oubliez pas de voir des TD, QCM, Exercices et Examens de Calcul Intégral et Formes Différentielles. Liens dans la section ci-dessous.
Exercices & Examens de Calcul Intégral et Formes Différentielles
Pour télécharger les QCM, exercices et examens de Calcul Intégral et Formes Différentielles, Cliquez sur les liens ci-dessous.
NOTE: N’oubliez pas de voir les autres Unités d’enseignements (matières/modules) de Mathématiques et Applications. Liens dans la section ci-dessous.
Autres Modules de Mathématiques et Applications
Tourner à la page principale de Mathématiques pour voir la totalité des modules (cours, résumés, formation, exercices, td, examens, qcm, livres).
Ou visiter directement les cours de la filière Math et Application à partir de ces liens ci-dessous:
- Analyse 6 : Calcul Intégral et Formes Différentielles
- Algèbre 5: Dualité, Espaces Euclidiens, Espaces Hermitiens
- Algèbre 6: Structures Algébriques
- Analyse Numérique 1
- Physique
- Informatique