Cours de Calcul Différentiel PDF (L3 SMA S5) Gratuit

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Table des matières

    Présentation du cours Calcul Différentiel

    cours de Calcul Différentiel pdf l3 sma s5
    Cours Calcul Différentiel PDF

    Introduction

    Nous commençons par des rappels sur la notion de dérivée dans le cas le plus simple des fonctions à variables réelles et valeurs réelles.

    Définition (fonction réelle dérivable)

    Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction réelle.

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    On dit que f est dérivable en a ∈ I si et seulement si le rapport f(x) − f(a) x − a , admet une limite lorsque x tend vers a. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique ; on la note f 0 (a). Il s’agit ici d’un nombre réel. On dit que f 0 (a) est la dérivée de f en a. Si f est dérivable en tout point a de I, on en déduit une fonction I 3 a → f 0 (a) ∈ R, appelée fonction dérivée de f.

    Remarquons que, dire que f est dérivable en a, équivaut `a dire qu’il existe un réel f 0 (a), tel que la fonction

    fonction réelle d´erivable
    fonction réelle d´erivable

    tend vers 0 lorsque x tend vers a. Ceci revient encore `a dire qu’il existe un réel f'(a) et une fonction a : I → R qui tend vers 0 lorsque x tend vers a tels que :

    ∀x ∈ I : f(x) − f(a) − f'(a)(x − a) = (x − a)a(x)

    Interprétation géométrique

    Interprétation géométrique. f 0 (a) est la pente de la tangente au graphe de f au point (a, f(a)).

    calcul différentiel

    Définition (fonction à valeurs dans R 2 )

    On dit que l’application f : Ω → R 2 est dérivable en a si et seulement si la fonction Ω\{a} 3 a 7→ 1 x − a [f(x) − f(a)] ∈ R 2 admet une limite en a dans R 2 (nécessairement unique et noté −→ f 0 (a)), ou de façon équivalente si et seulement si il existe un vecteur −→ f 0 (a) ∈ R 2 et une application a : Ω → R de limite nulle en a, tel que : ∀x ∈ Ω : f(x) − f(a) = −→ f 0 (a)(x − a) + |x − a|a(x)

    Interprétation géométrique

    calcul différentiel

    1. Dans cette définition, la norme de R 2 intervient (la notion de limite dépend a priori de la norme choisie sur R 2 ), la notion de dérivabilité et de dérivée en un point dépend donc a priori de la norme que l’on se donne sur R2. Mais dans le cas de R 2 toutes les normes étant équivalentes, la dérivabilité et la dérivée de f en un point sont indépendantes de la norme choisie.

    La définition de dérivabilité (∗∗) n’a plus de sens d`es que f est définie sur un espace vectoriel quelconque E, puisque dans ce cas le produit (x − a).→ f’ n’a plus de sens !

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    Le but de ce cours est de donner une notion pertinente de ”dérivée”, pour les applications `a variables dans un espace vectoriel normé E de dimension > 1. Pour cela, on remarquera que l’application L : K 3 x 7→ x. −→ f’ ∈ F est linéaire, sur ce modèle on remplacera donc dans le cas générale la définition (∗∗) par : ”il existe une application linéaire La : E → F, et une application pa : Ω → F qui tend vers 0F lorsque sa variable tend vers 0E, telles que :

    calcul différntiel

    Cependant, lorsque la dimension de E est infinie, il se peut qu’une telle application linéaire La ne soit pas continue en 0E. On réclamera alors, dans la d´efinition ci-dessus, afin qu’elle soit plus forte que la continuité de f en a, que l’application linéaire La soit continue.

    Plan du Cours

    Partie I : Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

    • Définition et exemples d’espaces vectoriels normés
    • Espaces vectoriels normés de dimension finie
    • Applications linéaires continues
    • Applications multilinéaires continues
    • Définition et exemples d’espaces de Banach
    • Séries dans les espaces vectoriels normés et caractérisation de la complétude

    Partie II : Calcul différentiel dans les espaces de Banach

    • Définition et exemples d’applications différentiables
    • Différentielle de la composée
    • Différentielle d’une application à valeurs dans un espace produit
    • Différentielle d’une application définie sur un espace produit, différentielle partielle
    • Théorème des accroissements finis et ses applications
    • Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale
    • Différentielle d’ordre supérieur
    • Formules de Taylor
    • Extremum

    Télécharger Cours Calcul Différentiel PDF

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