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Présentation du Cours Analyse Numérique
Définition
Etude et la construction d’algorithmes (du nom du mathématicien Al Khawarizmi) de résolution numérique d’un problème donné.
En pratique, l’Analyse Numérique se propose d’étudier les propriétés mathématiques des algorithmes et leur mise ´ en oeuvre (programmation).
L’objectif de l’analyse numérique est de concevoir et d’étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques (en général issus de la modélisation de problèmes “réels”), et dont on cherche à calculer la solution ou son approximation à l’aide d’un ordinateur.
Dérivation numérique
On voudrait être en mesure d’évaluer numériquement la d´eriv´ee d’une fonction qui n’est connue que par ses valeurs en un certain nombre de points. Ce problème de d´erivation numérique est très commun en ingénierie et en analyse numérique. C’est la base des m´ethodes de différences finies pour résoudre le problème suivant :
Soit [a, b] un intervalle de R. On appelle une subdivision de l’intervalle [a, b] une suite finie strictement croissante de points xi , i = 0, . . . , n, c’est à dire
a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Par exemple
xi = a + ih, h = (b−a)/n avec n ∈ N∗
Plan du Cours
Ch. I. Introduction
Principes du calcul numérique : Représentation approchée des nombres,
incertitudes, calcul sur ordinateur.
Ch. II. Résolution numériques d’un système linéaire
A. Méthodes directes
Méthodes de Gauss: Décomposition LU; Méthode de Cholesky
B. Méthodes itératives
Méthodes de Gauss-Seidel et de Jacobi ; Relaxation.
Ch. III. : Résolution numérique des équations non linéaires
Approche graphique, méthode de dichotomie, méthode de la sécante,
méthode de Newton, méthode de la fausse position,
Convergence et ordre de convergence
Ch. IV. Interpolation polynomiale
Méthode de Lagrange. Méthode de Newton côtes. Etude de l’Erreur.
Ch. V. Dérivation et Intégration numérique.
Extrapolation de Richardson. Méthode des trapèzes. Méthode de Simpson.
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