Cours Analyse 2 Intégration PDF Gratuit SMA

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Présentation du Cours Intégration

Introduction au calcul intégral

L’integration est un concept fondamental en mathématiques, issu du calcul des aires et de l’analyse, et utilise dans de nombreuses branches des mathématiques. L’integration permet, entre autres, de calculer la surface de l’espace délimité par la representation graphique d’une fonction f.

Au premier semestre nous avons étudié les fonctions dérivables et associé à une telle fonction F la fonction dérivée f = F 0 . Associer à une fonction f une primitive est, lorsque cela est possible, le procédé inverse car la définition d’une primitive est la suivante.

Définition : Une fonction F : [a, b] → R est une primitive de f : [a, b] → R si F est dérivable et si F 0 = f.

Une conséquence immédiate du théorème des accroissement finis est qu’une primitive, toujours dans le cas ou elle existe, est unique à une constante additive près. Plus précisément, on a la propriété suivante.

Proposition : Si F1 et F2 sont toutes les deux des primitives d’une fonction f sur un intervalle I ⊂ R, alors il existe une constante c ∈ R telle que F2 = F1 + c sur I.

Remarques et notations : Comme la différence de deux primitives d’une fonction est constante on travaille souvent dans la pratique à une constante additive prés. Si la fonction f admet des primitives F + c, c ∈ R, alors la famille de ces primitives est généralement notée

Zf(t) dt = F(x) + c

et appelé l’intégrale indéfinie de f. Il est à noter que R f(t) dt est une fonction de x, c’est la raison

1. pourquoi on trouve parfois la notation R x f(t) dt et
2. pourquoi ici la variable sous l’intégrale est une lettre autre que x Par hasard le choix s’est porté sur t mais toute autre lettre convient également. On appelle cette variable t muette.
   Souvent on prends quand même la lettre x, cad. on écrit R f(x) dx. Mais il ne faut pas confondre cette variable muette avec la variable x de x 7→ F(x)…

Plan du Cours

• Chapitre 1 Intégrale de Riemann
• Chapitre 2 Calcul de primitives
• Chapitre 3 Intégrale Généralisée
• Chapitre 4 Equations Différentielles

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• Exercices et Examens d’Analyse 2

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• Analyse 1 : Suites Numériques et Fonctions
• Algèbre 1: Généralités et Arithmétique dans Z
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• Analyse 2: Intégration
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